Tabela de primitivas imediatas

Funções Genéricas

Constante

\(P(k) = kx + C\)

Função identidade

\(\displaystyle P(x) = \frac{x^2}{2} + C\)

Função linear

\(\displaystyle P(kx) = \frac{k}{2}x^2 + C\)

Função afim

\(\displaystyle P(mx+b) = \frac{m}{2}x^2 + bx +C\)

Produto de uma constante por uma função

\(P(ku) = kP(u)\)

Soma de funções

\(P(u+v) = P(u) + P(v)\)

Expoente de \(x\)

\(\displaystyle P(x^n)=\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)    (para \(n\neq-1\); se \(n=-1\), usar esta regra)

Expoente de uma função

\(\displaystyle P(u' u^n)=\frac{u^{n+1}}{n+1} +C\)     (para \(n\neq-1\); se \(n=-1\), usar esta regra)

Raiz de \(x\)

\(\displaystyle P(\sqrt[n]{x^m})=P(x^\frac{m}{n})=\) (Usar regra do expoente de \(x\))

Raiz de uma função

\(\displaystyle P(u' \sqrt[n]{u}^m)=P(u' u^\frac{m}{n})=\) (Usar regra do expoente de uma função)

Inverso do expoente de \(x\)

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{x^n}\right)=P(x^{-n})=\) (Usar regra do expoente de \(x\))

Inverso do expoente de uma função

\(\displaystyle P\left(\frac{u'}{u^n}\right)=P(u' u^{-n})=\) (Usar regra do expoente de uma função)

Funções Trigonométricas

Seno

\(P(\sin  x)=-\cos  x + C\)

Seno de uma função

\(P(u' \sin u)=-\cos u + C\)

Cosseno

\(P(\cos x)=\sin x + C\)

Cosseno de uma função

\(P(u' \cos u)=\sin u + C\)

Secante

\(P(\sec^2 x)'=\tan x + C\)

Secante de uma função

\((u' \sec^2 u)'=\tan u + C\)

Cossecante

\((\csc^2 x)'=-\cot x + C\)

Cossecante de uma função

\((u' \csc^2 u)'=-\cot u + C\)

Funções Exponenciais

Função exponencial

\(\displaystyle P(e^x) = e^x + C\)

Exponencial de uma função

\(\displaystyle P(u' e^u) = e^u + C\)

Função exponencial de base a

\(\displaystyle P(a^x) = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

Exponencial de base a de uma função

\(\displaystyle P(u' a^u) = \frac{a^u}{\ln a} + C\)

Primitivas que resultam em funções logarítmicas

\(\displaystyle \frac{1}{x}\) ou \(x^{-1}\)

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{x}\right) = \ln |x| +C\)

\(\displaystyle \frac{1}{u}\) ou \(u^{-1}\)

\(\displaystyle P\left(\frac{u'}{u}\right) = \ln |u| +C\)

Primitivas que resultam em funções trigonométricas inversas

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=\arctan x + C\)

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{a^2+x^2}\right)=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C \)     (\(a\) constante \(\neq\)0)

\(\displaystyle P\left(\frac{u'}{1+u^2}\right)=\arctan u + C\)

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=\arcsin x + C\)

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right) + C\)   (\(a\) constante \(\neq\)0)

\(\displaystyle P\left(\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\right)=\arcsin u + C\)

Funções Hiperbólicas

Seno hiperbólico

\(P(\sinh  x)=\cosh  x + C\)

Seno hiperbólico de uma função

\(P(u' \sinh u)'=\cosh u + C\)

Cosseno  hiperbólico

\(P(\cosh x)=\sinh x + C\)

Cosseno hiperbólico de uma função

\(P(u' \cosh u)=\sinh u + C\)