Definição de derivada num ponto
\( f'(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
ou
\( f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
Constante
\(k'=0\)
Função identidade
\(x'=1\)
Função linear
\((kx)'=k\)
Função afim
\((mx+b)'=m\)
Produto de uma constante por uma função
\((kf)'=kf'\)
Soma de funções
\((f+g)'=f'+g'\)
Produto de funções
\((fg)'=f'g+fg'\)
Quociente de funções
\(\displaystyle\frac{f}{g}=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
Função composta
\((g\circ f)'=f'\times g'(f)\)
Expoente de \(x\)
\((x^n)'=n x^{n-1}\)
Expoente de uma função
\((f^n)'=n f^{n-1}f'\)
Raiz de \(x\)
\(\displaystyle(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\)
Raiz de uma função
\(\displaystyle(\sqrt[n]{f})'=\frac{f'}{n\sqrt[n]{f^{n-1}}}\)
Para os alunos do secundário, apenas são necessárias as regras do seno, cosseno e tangente
Seno
\((\sin x)'=\cos x\)
Seno de uma função
\((\sin f)'=f' \cos f\)
Cosseno
\((\cos x)'=- \sin x\)
Cosseno de uma função
\((\cos f)'=-f' \sin f\)
Tangente
\((\tan x)'=1+\tan^2 x\) ou \(\displaystyle(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\) ou \((\tan x)'=\sec^2 x\)
Tangente de uma função
\((\tan f)'=f'(1+\tan^2 f)\) ou \(\displaystyle(\tan f)'=\frac{f'}{\cos^2 f}\) ou \((\tan x)'=f' \sec^2 f\)
Cotangente
\((\cot x)'=-1-\cot^2 x\) ou \(\displaystyle(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}\) ou \((\cot x)'=-\csc^2 x\)
Cotangente de uma função
\((\cot f)'=-f'(1+\cot^2 f)\) ou \(\displaystyle(\cot f)'=-\frac{f'}{\sin^2 f}\) ou \((\cot x)'=-f' \csc^2 f\)
Secante
\((\sec x)'=\sec x \tan x\) ou \(\displaystyle(\sec x)'=\frac{\sin x}{\cos^2 x}\)
Secante de uma função
\((\sec f)'=f' \sec f \tan f\) ou \(\displaystyle(\sec f)'=\frac{f' \sin f}{\cos^2 f}\)
Cossecante
\((\csc x)'=-\csc x \cot x\) ou \(\displaystyle(\csc x)'=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}\)
Cossecante de uma função
\((\csc f)'=-f' \csc f \cot f\) ou \(\displaystyle(\csc f)'=-\frac{f' \cos f}{\sin^2 f}\)
Função exponencial
\((e^x)' = e^x\)
Exponencial de uma função
\((e^f)' = f' e^f\)
Função exponencial de base a
\((a^x)' = a^x \ln a\)
Exponencial de base a de uma função
\((a^f)' = f' a^f \ln a\)
Função logarítmica
\(\displaystyle(\ln x)' = \frac{1}{x}\)
Logaritmo de uma função
\(\displaystyle(\ln f)' = \frac{f'}{f}\)
Função logarítmica de base a
\(\displaystyle(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)
Logaritmo de base a de uma função
\(\displaystyle(\log_a f)' = \frac{f'}{f \ln a}\)
Estas regras não se destinam a alunos do ensino secundário.
Arco seno
\((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Arco seno de uma função
\((\arcsin f)'=\frac{f'}{\sqrt{1-f^2}}\)
Arco cosseno
\((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Arco cosseno de uma função
\((\arccos f)'=-\frac{f'}{\sqrt{1-f^2}}\)
Arco tangente
\((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)
Arco tangente de uma função
\((\arctan f)'=\frac{f'}{1+f^2}\)
Arco cotangente
\(\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}(\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}\)
Arco cotangente de uma função
\((\arccot f)'=-\frac{f'}{1+f^2}\)
Estas regras não se destinam a alunos do ensino secundário.
Seno hiperbólico
\((\sinh x)'=\cosh x\)
Seno hiperbólico de uma função
\((\sinh f)'=f' \cosh f\)
Cosseno hiperbólico
\((\cosh x)'=\sinh x\)
Cosseno hiperbólico de uma função
\((\cosh f)'=f' \sinh f\)
Tangente hiperbólica
\(\DeclareMathOperator{\sech}{sech}(\tanh x)'=1+\tanh^2 x\) ou \(\displaystyle(\tanh x)'=\frac{1}{\cosh^2 x}\) ou \((\tanh x)'=\sech^2 x\)
Tangente hiperbólica de uma função
\((\tanh f)'=f'(1+\tanh^2 f)\) ou \(\displaystyle(\tanh f)'=\frac{f'}{\cosh^2 f}\) ou \((\tanh x)'=f' \sech^2 f\)
Cotangente hiperbólica
\(\DeclareMathOperator{\csch}{csch}(\coth x)'=-1-\coth^2 x\) ou \(\displaystyle(\coth x)'=-\frac{1}{\sinh^2 x}\) ou \((\coth x)'=-\csch^2 x\)
Cotangente hiperbólica de uma função
\((\coth f)'=-f'(1+\coth^2 f)\) ou \(\displaystyle(\coth f)'=-\frac{f'}{\sinh^2 f}\) ou \((\coth x)'=-f' \csch^2 f\)
Secante hiperbólica
\((\sech x)'=\sech x \tanh x\) ou \(\displaystyle(\sech x)'=\frac{\sinh x}{\cosh^2 x}\)
Secante hiperbólica de uma função
\((\sech f)'=f' \sech f \tanh f\) ou \(\displaystyle(\sech f)'=\frac{f' \sinh f}{\cosh^2 f}\)
Cossecante hiperbólica
\((\csch x)'=-\csch x \coth x\) ou \(\displaystyle(\csch x)'=-\frac{\cosh x}{\sinh^2 x}\)
Cossecante hiperbólica de uma função
\((\csch f)'=-f' \csch f \coth f\) ou \(\displaystyle(\csch f)'=-\frac{f' \cosh f}{\sinh^2 f}\)
Estas regras não se destinam a alunos do ensino secundário.
Arco seno hiperbólico
\(\DeclareMathOperator{\arcsinh}{arcsinh}(\arcsinh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
Arco seno hiperbólico de uma função
\((\arcsinh f)'=\frac{f'}{\sqrt{f^2+1}}\)
Arco cosseno hiperbólico
\(\DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh}(\arccosh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
Arco cosseno hiperbólico de uma função
\((\arccosh f)'=\frac{f'}{\sqrt{f^2-1}}\)
Arco tangente hiperbólico
\(\DeclareMathOperator{\arctanh}{arctanh}(\arctanh x)'=\frac{1}{1-x^2}\)
Arco tangente hiperbólico de uma função
\((\arctanh f)'=\frac{f'}{1-f^2}\)
Arco cotangente hiperbólico
\(\DeclareMathOperator{\arccoth}{arccoth}(\arccoth x)'=\frac{1}{1-x^2}\)
Arco cotangente hiperbólico de uma função
\((\arccoth f)'=\frac{f'}{1-f^2}\)